ラプラス変換表 / Table of Laplace transforms

ラプラス変換表の一覧です。資料作成などに少しでも役立てれば幸いです。

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定義

ラプラス変換

$$ \mathfrak{L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = F\left( s \right) = \int_0^\infty {f\left( t \right){e^{ – st}}dt} $$

逆ラプラス変換

$$ {\mathfrak{L}^{ – 1}}\left\{ {F\left( s \right)} \right\} = f\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi i}}\int_{\sigma – i\infty }^{\sigma + i\infty } {F\left( s \right){e^{st}}ds} $$

ただし、\(s = \sigma + i\omega = \omega + 2i\pi f\) とする。

計算則

線形性 \(\mathfrak{L}\left[ {a{f_1}\left( t \right) + b{f_2}\left( t \right)} \right] = a{F_1}\left( s \right) + b{F_2}\left( s \right)\)
推移則
(時間空間)
\({\mathfrak{L}}\left[ {f\left( {t – \tau } \right)} \right] = F\left( s \right){e^{ – s\tau }}\)
推移則
(周波数空間)
\({\mathfrak{L}}\left[ {f\left( t \right){e^{at}}} \right] = F\left( {s – a} \right)\)
相似定理(1) \({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{a}f\left( {\frac{t}{a}} \right)} \right] = F\left( {as} \right)\)
相似定理(2) \({\mathfrak{L}}\left[ {f\left( {at} \right)} \right] = \frac{1}{a}F\left( {\frac{s}{a}} \right)\)
たたみこみ
(合成積則)(1)
\({f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right) = \int_0^t {{f_1}\left( \tau\right){f_2}\left( {t – \tau } \right)d\tau }= \int_0^t {{f_2}\left( \tau\right){f_1}\left( {t – \tau } \right)d\tau } \)
たたみこみ
(合成積則)(2)
\({\mathfrak{L}}\left[ {{f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right)} \right] = {F_1}\left( s \right){F_2}\left( s \right)\)
微分則
(時間空間)(1)
\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{d}{{dt}}f\left( t \right)} \right] = sF\left( s \right) – f\left( 0 \right)\)
微分則
(時間空間)(2)
\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}f\left( t \right)} \right] = {s^2}F\left( s \right) – sf\left( 0 \right) – f\left( 0 \right)\)
微分則
(時間空間)(3)
\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{{d^n}}}{{d{t^n}}}f\left( t \right)} \right] = {s^n}F\left( s \right) – \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{f^{\left( k \right)}}\left( 0 \right){s^{n – k – 1}}} \)
像関数の微分則
(周波数空間)
\({\mathfrak{L}}\left[ {{{\left( { – t} \right)}^n}f\left( t \right)} \right] = \frac{{{d^n}}}{{d{s^n}}}F\left( s \right)\)
積分則
(時間空間)(1)
\({\mathfrak{L}}\left[ {\int_0^t {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{s}F\left( s \right)\)
積分則
(時間空間)(2)
\({\mathfrak{L}}\left[ {\int_0^t\cdots\int_0^t {f\left( t \right)d{t^n}} } \right] = \frac{1}{{{s^n}}}F\left( s \right)\)
積分則
(時間空間)(3)
\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{t}f\left( t \right)} \right] = \int_s^\infty{F\left( s \right)ds} \)
積分則
(時間空間)(4)
\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{{{t^n}}}f\left( t \right)} \right] = \int_s^\infty \cdots\int_s^\infty{F\left( s \right){{\left( {ds} \right)}^n}} \)
像関数の積分則
(周波数空間)
\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^n}}}} \right] = \int_s^\infty \cdots\int_s^\infty{F\left( s \right){{\left( {ds} \right)}^n}} \)

ラプラス変換表

原関数・t領域が分かりやすい関数群です。

s領域がわかりやすい表記は逆ラプラス変換表に記載しています。

原関数・t領域\(f\left( t \right)\) 像関数・s領域\(F\left( s \right)\) 備考 式番号
\(\delta (t) = \left\{ \begin{gathered} \infty :t = 0 \\ 0:t \ne 0 \\ \end{gathered}\right.\), \(\int_{ – \infty }^\infty{\delta (t)dt = 1} \) \(1\) ディラックのデルタ(δ)関数 (超関数) 1
\(u\left( t \right)\left\{ \begin{gathered}1 & \left( {t \gt 0} \right)\\1/2 & \left( {t = 0} \right)\\0 & \left( {t \le 0} \right)\\ \end{gathered}\right.\) \(\frac{1}{s}\) 単位ステップ関数・Heaviside関数 2
\(c\) \(\frac{c}{s}\) cは定数3
\(t\) \(\frac{1}{{{s}^{2}}}\) ランプ関数4
\(c{{t}^{n}}\) \(c\frac{n!}{{{s}^{n+1}}}=c\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{{{s}^{n+1}}}\) 5
\(\sqrt{t}\) \(\frac{\pi }{2\sqrt{{{s}^{3}}}}\) 6
\(\frac{1}{\sqrt{t}}\) \(\sqrt{\frac{\pi}{s}}\) 7
\(c{{e}^{at}}\) \(\frac{c}{s-a}\) 8
\(t{{e}^{at}}\) \(\frac{1}{{{\left( s-a \right)}^{2}}}\) 9
\({{t}^{n}}{{e}^{at}}\) \(\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{{{\left( s-a \right)}^{-\left( n+1 \right)}}}=\frac{n!}{{{\left( s-a \right)}^{-\left( n+1 \right)}}}\) 10
\({{e}^{at}}-1\) \(\frac{a}{s\left( s-a \right)}\) 11
\(\log \left( t \right)\)\(\begin{align} & \frac{\Gamma ‘\left( 1 \right)}{s}-\frac{\log \left( s \right)}{s} =-\frac{1}{s}\left( \log \left( s \right)+\gamma\right) \\ \end{align}\) Euler定数\(\gamma =0.57721\cdots \)12
\(\frac{{{e}^{at}}}{\sqrt{t}}\) \(\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{s-a}}\) 13
\(\frac{1}{T}{{e}^{-\frac{t}{T}}}\) \(\frac{1}{1+Ts}\) 14
\(\sin \left( at \right)\) \(\frac{a}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 正弦関数15
\(\cos \left( at \right)\) \(\frac{s}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 余弦関数16
\({{\sin }^{2}}\left( at \right)\) \(\frac{2{{a}^{2}}}{s\left( {{s}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)}\) 17
\({{\cos }^{2}}\left( at \right)\) \(\frac{{{s}^{2}}+2{{a}^{2}}}{s\left( {{s}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)}\) 18
\(\sin \left( at+\theta\right)\) \(\frac{s\sin \left( \theta\right)+a\cos \left( \theta\right)}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 19
\(\cos \left( at+\theta\right)\) \(\frac{s\cos \left( \theta\right)-a\sin \left( \theta\right)}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 20
\(t\sin \left( at \right)\) \(\frac{2as}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}\) 21
\(t\cos \left( at \right)\) \(\frac{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}\) 22
\({{t}^{2}}\sin \left( at \right)\) \(\frac{2a\left( 3{{s}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}\) 23
\({{t}^{2}}\cos \left( at \right)\) \(\frac{2s\left( {{s}^{2}}-3{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}\) 24
\({{e}^{bt}}\sin \left( at \right)\) \(\frac{a}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 25
\({{e}^{bt}}\cos \left( at \right)\) \(\frac{s-b}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 26
\({{e}^{bt}}\sin \left( at+\theta\right)\) \(\frac{\left( s-b \right)\sin \left( \theta\right)+a\cos \left( \theta\right)}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 27
\({{e}^{bt}}\cos \left( at+\theta\right)\) \(\frac{\left( s-b \right)\cos \left( \theta\right)-a\sin \left( \theta\right)}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 28
\(\frac{1}{t}\sin \left( at \right)\) \({{\tan }^{-1}}\left( \frac{a}{s} \right)\) 29
\(\frac{1-\cos \left( at \right)}{t}\) \(\frac{1}{2}\log \left( 1+\frac{{{a}^{2}}}{{{s}^{2}}} \right)\) 30
\(\sinh \left( at \right)\) \(\frac{a}{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}\) 双曲線正弦関数 (ハイパボリックサイン)31
\(\cosh \left( at \right)\) \(\frac{s}{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}\) 双曲線余弦関数 (ハイパボリックコサイン)32
\({{\sinh }^{2}}\left( at \right)\) \(\frac{2{{a}^{2}}}{\left( {{s}^{3}}-4{{a}^{2}}s \right)}\) 33
\({{\cosh }^{2}}\left( at \right)\) \(\frac{{{s}^{2}}-2{{a}^{2}}}{{{s}^{3}}-4{{a}^{2}}s}\) 34
\({{e}^{bt}}\sinh \left( at \right)\) \(\frac{a}{{{\left( s-b \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}\) 35
\({{e}^{bt}}\cosh \left( at \right)\) \(\frac{s-b}{{{\left( s-b \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}\) 36
\(\frac{1}{\pi t}\sin \left( 2a\sqrt{t} \right)\) \(\text{erf}\left( \frac{a}{\sqrt{s}} \right)\) 37
\(\text{erfc}\left( \frac{a}{2\sqrt{t}} \right)\) \(\frac{1}{s}{{e}^{-a\sqrt{s}}}\) 誤差関数38

逆ラプラス変換表

ラプラス変換表以外で、像関数・s領域が分かりやすい関数群

原関数・t領域\(f\left( t \right)\) 像関数・s領域\(F\left( s \right)\) 備考 式番号
\(\frac{{{t}^{n-1}}}{\left( n-1 \right)!}\)\(\frac{1}{{{s}^{n}}}\) 39
\(\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\)\(\frac{1}{\sqrt{s}}\) 40
\(2\sqrt{\frac{t}{\pi }}\)\(\frac{1}{s\sqrt{s}}\) 41
\(-\frac{1}{2{{t}^{3/2}}\sqrt{\pi }}\)\(\sqrt{s}\) 42
\(\frac{3}{4{{t}^{5/2}}\sqrt{\pi }}\)\(s\sqrt{s}\) 43
\(\frac{1-{{e}^{-t}}}{t}\)\(\log \left( 1+\frac{1}{s} \right)\) 44
\(\frac{{{e}^{-at}}-{{e}^{-bt}}}{t}\)\(\log \left( \frac{s+b}{s+a} \right)\) 45
\(\frac{a}{2t\sqrt{\pi t}}{{e}^{\frac{-{{a}^{2}}}{4t}}}\)\(\frac{1}{s}{{e}^{-a\sqrt{s}}}\) 46
\(\frac{{{e}^{at}}-{{e}^{bt}}}{a-b}\)\(\frac{1}{\left( s-b \right)\left( s-a \right)}\)\(b\ne a\) 47
\(\frac{1}{2{{a}^{3}}}\sin \left( at \right)-\frac{1}{2a}t\cos \left( at \right)\)\(\frac{1}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}\) 48
\(\frac{t}{{2a}}\sin \left( {at} \right)\)\(\frac{s}{{{{\left( {{s^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\) 49
\(\frac{1}{2a}\sin \left( at \right)+\frac{t}{2}\cos \left( at \right)\)\(\frac{{{s}^{2}}}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}\) 50
\(\frac{1}{a}{{e}^{-bt}}\sin \left( at \right)\)\(\frac{1}{{{\left( s+b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\) 51

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