ラプラス変換表 / Table of Laplace transforms

2012年3月21日数学

ラプラス変換表の一覧です。資料作成などに少しでも役立てれば幸いです。

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定義

ラプラス変換

$$ \mathfrak{L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = F\left( s \right) = \int_0^\infty {f\left( t \right){e^{ – st}}dt} $$

逆ラプラス変換

$$ {\mathfrak{L}^{ – 1}}\left\{ {F\left( s \right)} \right\} = f\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi i}}\int_{\sigma – i\infty }^{\sigma + i\infty } {F\left( s \right){e^{st}}ds} $$

ただし、$s = \sigma + i\omega = \omega + 2i\pi f$ とする。

計算則

線形性	$\mathfrak{L}\left[ {a{f_1}\left( t \right) + b{f_2}\left( t \right)} \right] = a{F_1}\left( s \right) + b{F_2}\left( s \right)$
推移則 (時間空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {f\left( {t – \tau } \right)} \right] = F\left( s \right){e^{ – s\tau }}$
推移則 (周波数空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {f\left( t \right){e^{at}}} \right] = F\left( {s – a} \right)$
相似定理(1)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{a}f\left( {\frac{t}{a}} \right)} \right] = F\left( {as} \right)$
相似定理(2)	${\mathfrak{L}}\left[ {f\left( {at} \right)} \right] = \frac{1}{a}F\left( {\frac{s}{a}} \right)$
たたみこみ (合成積則)(1)	${f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right) = \int_0^t {{f_1}\left( \tau\right){f_2}\left( {t – \tau } \right)d\tau }= \int_0^t {{f_2}\left( \tau\right){f_1}\left( {t – \tau } \right)d\tau } $
たたみこみ (合成積則)(2)	${\mathfrak{L}}\left[ {{f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right)} \right] = {F_1}\left( s \right){F_2}\left( s \right)$
微分則 (時間空間)(1)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{d}{{dt}}f\left( t \right)} \right] = sF\left( s \right) – f\left( 0 \right)$
微分則 (時間空間)(2)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}f\left( t \right)} \right] = {s^2}F\left( s \right) – sf\left( 0 \right) – f\left( 0 \right)$
微分則 (時間空間)(3)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{{d^n}}}{{d{t^n}}}f\left( t \right)} \right] = {s^n}F\left( s \right) – \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{f^{\left( k \right)}}\left( 0 \right){s^{n – k – 1}}} $
像関数の微分則 (周波数空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {{{\left( { – t} \right)}^n}f\left( t \right)} \right] = \frac{{{d^n}}}{{d{s^n}}}F\left( s \right)$
積分則 (時間空間)(1)	${\mathfrak{L}}\left[ {\int_0^t {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{s}F\left( s \right)$
積分則 (時間空間)(2)	${\mathfrak{L}}\left[ {\int_0^t\cdots\int_0^t {f\left( t \right)d{t^n}} } \right] = \frac{1}{{{s^n}}}F\left( s \right)$
積分則 (時間空間)(3)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{t}f\left( t \right)} \right] = \int_s^\infty{F\left( s \right)ds} $
積分則 (時間空間)(4)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{{{t^n}}}f\left( t \right)} \right] = \int_s^\infty \cdots\int_s^\infty{F\left( s \right){{\left( {ds} \right)}^n}} $
像関数の積分則 (周波数空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^n}}}} \right] = \int_s^\infty \cdots\int_s^\infty{F\left( s \right){{\left( {ds} \right)}^n}} $

ラプラス変換表

原関数・t領域が分かりやすい関数群です。

s領域がわかりやすい表記は逆ラプラス変換表に記載しています。

原関数・t領域$f\left( t \right)$	像関数・s領域$F\left( s \right)$	備考	式番号
$\delta (t) = \left\{ \begin{gathered} \infty :t = 0 \\ 0:t \ne 0 \\ \end{gathered}\right.$, $\int_{ – \infty }^\infty{\delta (t)dt = 1} $	$1$	ディラックのデルタ(δ)関数 (超関数)	1
$u\left( t \right)\left\{ \begin{gathered}1 & \left( {t \gt 0} \right)\\1/2 & \left( {t = 0} \right)\\0 & \left( {t \le 0} \right)\\ \end{gathered}\right.$	$\frac{1}{s}$	単位ステップ関数・Heaviside関数	2
$c$	$\frac{c}{s}$	cは定数	3
$t$	$\frac{1}{{{s}^{2}}}$	ランプ関数	4
$c{{t}^{n}}$	$c\frac{n!}{{{s}^{n+1}}}=c\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{{{s}^{n+1}}}$		5
$\sqrt{t}$	$\frac{\pi }{2\sqrt{{{s}^{3}}}}$		6
$\frac{1}{\sqrt{t}}$	$\sqrt{\frac{\pi}{s}}$		7
$c{{e}^{at}}$	$\frac{c}{s-a}$		8
$t{{e}^{at}}$	$\frac{1}{{{\left( s-a \right)}^{2}}}$		9
${{t}^{n}}{{e}^{at}}$	$\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{{{\left( s-a \right)}^{-\left( n+1 \right)}}}=\frac{n!}{{{\left( s-a \right)}^{-\left( n+1 \right)}}}$		10
${{e}^{at}}-1$	$\frac{a}{s\left( s-a \right)}$		11
$\log \left( t \right)$	$\begin{align} & \frac{\Gamma ‘\left( 1 \right)}{s}-\frac{\log \left( s \right)}{s} =-\frac{1}{s}\left( \log \left( s \right)+\gamma\right) \\ \end{align}$	Euler定数$\gamma =0.57721\cdots $	12
$\frac{{{e}^{at}}}{\sqrt{t}}$	$\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{s-a}}$		13
$\frac{1}{T}{{e}^{-\frac{t}{T}}}$	$\frac{1}{1+Ts}$		14
$\sin \left( at \right)$	$\frac{a}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}$	正弦関数	15
$\cos \left( at \right)$	$\frac{s}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}$	余弦関数	16
${{\sin }^{2}}\left( at \right)$	$\frac{2{{a}^{2}}}{s\left( {{s}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)}$		17
${{\cos }^{2}}\left( at \right)$	$\frac{{{s}^{2}}+2{{a}^{2}}}{s\left( {{s}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)}$		18
$\sin \left( at+\theta\right)$	$\frac{s\sin \left( \theta\right)+a\cos \left( \theta\right)}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}$		19
$\cos \left( at+\theta\right)$	$\frac{s\cos \left( \theta\right)-a\sin \left( \theta\right)}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}$		20
$t\sin \left( at \right)$	$\frac{2as}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}$		21
$t\cos \left( at \right)$	$\frac{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}$		22
${{t}^{2}}\sin \left( at \right)$	$\frac{2a\left( 3{{s}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}$		23
${{t}^{2}}\cos \left( at \right)$	$\frac{2s\left( {{s}^{2}}-3{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}$		24
${{e}^{bt}}\sin \left( at \right)$	$\frac{a}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		25
${{e}^{bt}}\cos \left( at \right)$	$\frac{s-b}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		26
${{e}^{bt}}\sin \left( at+\theta\right)$	$\frac{\left( s-b \right)\sin \left( \theta\right)+a\cos \left( \theta\right)}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		27
${{e}^{bt}}\cos \left( at+\theta\right)$	$\frac{\left( s-b \right)\cos \left( \theta\right)-a\sin \left( \theta\right)}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		28
$\frac{1}{t}\sin \left( at \right)$	${{\tan }^{-1}}\left( \frac{a}{s} \right)$		29
$\frac{1-\cos \left( at \right)}{t}$	$\frac{1}{2}\log \left( 1+\frac{{{a}^{2}}}{{{s}^{2}}} \right)$		30
$\sinh \left( at \right)$	$\frac{a}{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}$	双曲線正弦関数 (ハイパボリックサイン)	31
$\cosh \left( at \right)$	$\frac{s}{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}$	双曲線余弦関数 (ハイパボリックコサイン)	32
${{\sinh }^{2}}\left( at \right)$	$\frac{2{{a}^{2}}}{\left( {{s}^{3}}-4{{a}^{2}}s \right)}$		33
${{\cosh }^{2}}\left( at \right)$	$\frac{{{s}^{2}}-2{{a}^{2}}}{{{s}^{3}}-4{{a}^{2}}s}$		34
${{e}^{bt}}\sinh \left( at \right)$	$\frac{a}{{{\left( s-b \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}$		35
${{e}^{bt}}\cosh \left( at \right)$	$\frac{s-b}{{{\left( s-b \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}$		36
$\frac{1}{\pi t}\sin \left( 2a\sqrt{t} \right)$	$\text{erf}\left( \frac{a}{\sqrt{s}} \right)$		37
$\text{erfc}\left( \frac{a}{2\sqrt{t}} \right)$	$\frac{1}{s}{{e}^{-a\sqrt{s}}}$	誤差関数	38

逆ラプラス変換表

ラプラス変換表以外で、像関数・s領域が分かりやすい関数群

原関数・t領域$f\left( t \right)$	像関数・s領域$F\left( s \right)$	備考	式番号
$\frac{{{t}^{n-1}}}{\left( n-1 \right)!}$	$\frac{1}{{{s}^{n}}}$		39
$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$	$\frac{1}{\sqrt{s}}$		40
$2\sqrt{\frac{t}{\pi }}$	$\frac{1}{s\sqrt{s}}$		41
$-\frac{1}{2{{t}^{3/2}}\sqrt{\pi }}$	$\sqrt{s}$		42
$\frac{3}{4{{t}^{5/2}}\sqrt{\pi }}$	$s\sqrt{s}$		43
$\frac{1-{{e}^{-t}}}{t}$	$\log \left( 1+\frac{1}{s} \right)$		44
$\frac{{{e}^{-at}}-{{e}^{-bt}}}{t}$	$\log \left( \frac{s+b}{s+a} \right)$		45
$\frac{a}{2t\sqrt{\pi t}}{{e}^{\frac{-{{a}^{2}}}{4t}}}$	$\frac{1}{s}{{e}^{-a\sqrt{s}}}$		46
$\frac{{{e}^{at}}-{{e}^{bt}}}{a-b}$	$\frac{1}{\left( s-b \right)\left( s-a \right)}$	$b\ne a$	47
$\frac{1}{2{{a}^{3}}}\sin \left( at \right)-\frac{1}{2a}t\cos \left( at \right)$	$\frac{1}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}$		48
$\frac{t}{{2a}}\sin \left( {at} \right)$	$\frac{s}{{{{\left( {{s^2} + {a^2}} \right)}^2}}}$		49
$\frac{1}{2a}\sin \left( at \right)+\frac{t}{2}\cos \left( at \right)$	$\frac{{{s}^{2}}}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}$		50
$\frac{1}{a}{{e}^{-bt}}\sin \left( at \right)$	$\frac{1}{{{\left( s+b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		51

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コメント (3)

KENTAvv より:

2022年11月4日 00:28

著作者様
38番、46番は像関数が同一ですが、原関数の表現が異なるのはなぜでしょうか？
恐れ入りますがご教示お願いいたします。

返信
1. cega より:
  
  2022年11月4日 02:43
  
  表現方法は色々ありますので、wolframalphaにでも入れていただくと良いかと思います。
  https://ja.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=erfc%5C%2840%29Divide%5Ba%2C%5C%2840%292Sqrt%5Bt%5D%5C%2841%29%5D%5C%2841%29
  
  誤差関数のラプラス変換の導出としては、「新米夫婦のふたりごと」様のサイトが丁寧でこのラプラス表現は分かりやすいと思いました。
  https://ramenhuhu.com/math-laplacelist
  
  話を元に戻して、38番と46番の原関数で考えると確かに一致していません。
  38番の相補誤差関数に対して46番は導関数となっていますが、ラプラスの特性を考えると分かるかと思います。
  ぜひ、1度誤差関数erfの定義からラプラス変換して導出してみてください。
  
  返信
ごんべいより:

2023年12月10日 13:44

48の2aは2a^2じゃないでしょうか？

返信

原関数・t領域\(f\left( t \right)\)	像関数・s領域\(F\left( s \right)\)	備考	式番号
\(\delta (t) = \left\{ \begin{gathered} \infty :t = 0 \\ 0:t \ne 0 \\ \end{gathered}\right.\), \(\int_{ – \infty }^\infty{\delta (t)dt = 1} \)	\(1\)	ディラックのデルタ(δ)関数 (超関数)	1
\(u\left( t \right)\left\{ \begin{gathered}1 & \left( {t \gt 0} \right)\\1/2 & \left( {t = 0} \right)\\0 & \left( {t \le 0} \right)\\ \end{gathered}\right.\)	\(\frac{1}{s}\)	単位ステップ関数・Heaviside関数	2
\(c\)	\(\frac{c}{s}\)	cは定数	3
\(t\)	\(\frac{1}{{{s}^{2}}}\)	ランプ関数	4
\(c{{t}^{n}}\)	\(c\frac{n!}{{{s}^{n+1}}}=c\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{{{s}^{n+1}}}\)		5
\(\sqrt{t}\)	\(\frac{\pi }{2\sqrt{{{s}^{3}}}}\)		6
\(\frac{1}{\sqrt{t}}\)	\(\sqrt{\frac{\pi}{s}}\)		7
\(c{{e}^{at}}\)	\(\frac{c}{s-a}\)		8
\(t{{e}^{at}}\)	\(\frac{1}{{{\left( s-a \right)}^{2}}}\)		9
\({{t}^{n}}{{e}^{at}}\)	\(\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{{{\left( s-a \right)}^{-\left( n+1 \right)}}}=\frac{n!}{{{\left( s-a \right)}^{-\left( n+1 \right)}}}\)		10
\({{e}^{at}}-1\)	\(\frac{a}{s\left( s-a \right)}\)		11
\(\log \left( t \right)\)	\(\begin{align} & \frac{\Gamma ‘\left( 1 \right)}{s}-\frac{\log \left( s \right)}{s} =-\frac{1}{s}\left( \log \left( s \right)+\gamma\right) \\ \end{align}\)	Euler定数\(\gamma =0.57721\cdots \)	12
\(\frac{{{e}^{at}}}{\sqrt{t}}\)	\(\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{s-a}}\)		13
\(\frac{1}{T}{{e}^{-\frac{t}{T}}}\)	\(\frac{1}{1+Ts}\)		14
\(\sin \left( at \right)\)	\(\frac{a}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}\)	正弦関数	15
\(\cos \left( at \right)\)	\(\frac{s}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}\)	余弦関数	16
\({{\sin }^{2}}\left( at \right)\)	\(\frac{2{{a}^{2}}}{s\left( {{s}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)}\)		17
\({{\cos }^{2}}\left( at \right)\)	\(\frac{{{s}^{2}}+2{{a}^{2}}}{s\left( {{s}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)}\)		18
\(\sin \left( at+\theta\right)\)	\(\frac{s\sin \left( \theta\right)+a\cos \left( \theta\right)}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}\)		19
\(\cos \left( at+\theta\right)\)	\(\frac{s\cos \left( \theta\right)-a\sin \left( \theta\right)}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}\)		20
\(t\sin \left( at \right)\)	\(\frac{2as}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}\)		21
\(t\cos \left( at \right)\)	\(\frac{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}\)		22
\({{t}^{2}}\sin \left( at \right)\)	\(\frac{2a\left( 3{{s}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}\)		23
\({{t}^{2}}\cos \left( at \right)\)	\(\frac{2s\left( {{s}^{2}}-3{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}\)		24
\({{e}^{bt}}\sin \left( at \right)\)	\(\frac{a}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\)		25
\({{e}^{bt}}\cos \left( at \right)\)	\(\frac{s-b}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\)		26
\({{e}^{bt}}\sin \left( at+\theta\right)\)	\(\frac{\left( s-b \right)\sin \left( \theta\right)+a\cos \left( \theta\right)}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\)		27
\({{e}^{bt}}\cos \left( at+\theta\right)\)	\(\frac{\left( s-b \right)\cos \left( \theta\right)-a\sin \left( \theta\right)}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\)		28
\(\frac{1}{t}\sin \left( at \right)\)	\({{\tan }^{-1}}\left( \frac{a}{s} \right)\)		29
\(\frac{1-\cos \left( at \right)}{t}\)	\(\frac{1}{2}\log \left( 1+\frac{{{a}^{2}}}{{{s}^{2}}} \right)\)		30
\(\sinh \left( at \right)\)	\(\frac{a}{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}\)	双曲線正弦関数 (ハイパボリックサイン)	31
\(\cosh \left( at \right)\)	\(\frac{s}{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}\)	双曲線余弦関数 (ハイパボリックコサイン)	32
\({{\sinh }^{2}}\left( at \right)\)	\(\frac{2{{a}^{2}}}{\left( {{s}^{3}}-4{{a}^{2}}s \right)}\)		33
\({{\cosh }^{2}}\left( at \right)\)	\(\frac{{{s}^{2}}-2{{a}^{2}}}{{{s}^{3}}-4{{a}^{2}}s}\)		34
\({{e}^{bt}}\sinh \left( at \right)\)	\(\frac{a}{{{\left( s-b \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}\)		35
\({{e}^{bt}}\cosh \left( at \right)\)	\(\frac{s-b}{{{\left( s-b \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}\)		36
\(\frac{1}{\pi t}\sin \left( 2a\sqrt{t} \right)\)	\(\text{erf}\left( \frac{a}{\sqrt{s}} \right)\)		37
\(\text{erfc}\left( \frac{a}{2\sqrt{t}} \right)\)	\(\frac{1}{s}{{e}^{-a\sqrt{s}}}\)	誤差関数	38

原関数・t領域\(f\left( t \right)\)	像関数・s領域\(F\left( s \right)\)	備考	式番号
\(\frac{{{t}^{n-1}}}{\left( n-1 \right)!}\)	\(\frac{1}{{{s}^{n}}}\)		39
\(\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\)	\(\frac{1}{\sqrt{s}}\)		40
\(2\sqrt{\frac{t}{\pi }}\)	\(\frac{1}{s\sqrt{s}}\)		41
\(-\frac{1}{2{{t}^{3/2}}\sqrt{\pi }}\)	\(\sqrt{s}\)		42
\(\frac{3}{4{{t}^{5/2}}\sqrt{\pi }}\)	\(s\sqrt{s}\)		43
\(\frac{1-{{e}^{-t}}}{t}\)	\(\log \left( 1+\frac{1}{s} \right)\)		44
\(\frac{{{e}^{-at}}-{{e}^{-bt}}}{t}\)	\(\log \left( \frac{s+b}{s+a} \right)\)		45
\(\frac{a}{2t\sqrt{\pi t}}{{e}^{\frac{-{{a}^{2}}}{4t}}}\)	\(\frac{1}{s}{{e}^{-a\sqrt{s}}}\)		46
\(\frac{{{e}^{at}}-{{e}^{bt}}}{a-b}\)	\(\frac{1}{\left( s-b \right)\left( s-a \right)}\)	\(b\ne a\)	47
\(\frac{1}{2{{a}^{3}}}\sin \left( at \right)-\frac{1}{2a}t\cos \left( at \right)\)	\(\frac{1}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}\)		48
\(\frac{t}{{2a}}\sin \left( {at} \right)\)	\(\frac{s}{{{{\left( {{s^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\)		49
\(\frac{1}{2a}\sin \left( at \right)+\frac{t}{2}\cos \left( at \right)\)	\(\frac{{{s}^{2}}}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}\)		50
\(\frac{1}{a}{{e}^{-bt}}\sin \left( at \right)\)	\(\frac{1}{{{\left( s+b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}\)		51

線形性	\(\mathfrak{L}\left[ {a{f_1}\left( t \right) + b{f_2}\left( t \right)} \right] = a{F_1}\left( s \right) + b{F_2}\left( s \right)\)
推移則 (時間空間)	\({\mathfrak{L}}\left[ {f\left( {t – \tau } \right)} \right] = F\left( s \right){e^{ – s\tau }}\)
推移則 (周波数空間)	\({\mathfrak{L}}\left[ {f\left( t \right){e^{at}}} \right] = F\left( {s – a} \right)\)
相似定理(1)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{a}f\left( {\frac{t}{a}} \right)} \right] = F\left( {as} \right)\)
相似定理(2)	\({\mathfrak{L}}\left[ {f\left( {at} \right)} \right] = \frac{1}{a}F\left( {\frac{s}{a}} \right)\)
たたみこみ (合成積則)(1)	\({f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right) = \int_0^t {{f_1}\left( \tau\right){f_2}\left( {t – \tau } \right)d\tau }= \int_0^t {{f_2}\left( \tau\right){f_1}\left( {t – \tau } \right)d\tau } \)
たたみこみ (合成積則)(2)	\({\mathfrak{L}}\left[ {{f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right)} \right] = {F_1}\left( s \right){F_2}\left( s \right)\)
微分則 (時間空間)(1)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{d}{{dt}}f\left( t \right)} \right] = sF\left( s \right) – f\left( 0 \right)\)
微分則 (時間空間)(2)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}f\left( t \right)} \right] = {s^2}F\left( s \right) – sf\left( 0 \right) – f\left( 0 \right)\)
微分則 (時間空間)(3)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{{d^n}}}{{d{t^n}}}f\left( t \right)} \right] = {s^n}F\left( s \right) – \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{f^{\left( k \right)}}\left( 0 \right){s^{n – k – 1}}} \)
像関数の微分則 (周波数空間)	\({\mathfrak{L}}\left[ {{{\left( { – t} \right)}^n}f\left( t \right)} \right] = \frac{{{d^n}}}{{d{s^n}}}F\left( s \right)\)
積分則 (時間空間)(1)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\int_0^t {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{s}F\left( s \right)\)
積分則 (時間空間)(2)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\int_0^t\cdots\int_0^t {f\left( t \right)d{t^n}} } \right] = \frac{1}{{{s^n}}}F\left( s \right)\)
積分則 (時間空間)(3)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{t}f\left( t \right)} \right] = \int_s^\infty{F\left( s \right)ds} \)
積分則 (時間空間)(4)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{{{t^n}}}f\left( t \right)} \right] = \int_s^\infty \cdots\int_s^\infty{F\left( s \right){{\left( {ds} \right)}^n}} \)
像関数の積分則 (周波数空間)	\({\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^n}}}} \right] = \int_s^\infty \cdots\int_s^\infty{F\left( s \right){{\left( {ds} \right)}^n}} \)