ラプラス変換表 / Table of Laplace transforms

ラプラス変換表 / Table of Laplace transforms

ラプラス変換表を基本としたページです。数式を右クリックするとMathMLでコピーも出来ますので、資料作成などに少しでも役立てれば幸いです。

定義

ラプラス変換

$\mathfrak{L}\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = F\left( s \right) = \int_0^\infty {f\left( t \right){e^{ - st}}dt}$

逆ラプラス変換

${\mathfrak{L}^{ - 1}}\left\{ {F\left( s \right)} \right\} = f\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi i}}\int_{\sigma - i\infty }^{\sigma + i\infty } {F\left( s \right){e^{st}}ds}$

ただし、 $s = \sigma + i\omega = \omega + 2i\pi f$ とする。

計算則

線形性	$\mathfrak{L}\left[ {a{f_1}\left( t \right) + b{f_2}\left( t \right)} \right] = a{F_1}\left( s \right) + b{F_2}\left( s \right)$
推移則 (時間空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {f\left( {t - \tau } \right)} \right] = F\left( s \right){e^{ - s\tau }}$
推移則 (周波数空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {f\left( t \right){e^{at}}} \right] = F\left( {s - a} \right)$
相似定理	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{a}f\left( {\frac{t}{a}} \right)} \right] = F\left( {as} \right)$
相似定理	${\mathfrak{L}}\left[ {f\left( {at} \right)} \right] = \frac{1}{a}F\left( {\frac{s}{a}} \right)$
たたみこみ (合成積則)	${f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right) = \int_0^t {{f_1}\left( \tau \right){f_2}\left( {t - \tau } \right)d\tau } = \int_0^t {{f_2}\left( \tau \right){f_1}\left( {t - \tau } \right)d\tau }$
たたみこみ (合成積則)	${\mathfrak{L}}\left[ {{f_1}\left( t \right) * {f_2}\left( t \right)} \right] = {F_1}\left( s \right){F_2}\left( s \right)$
微分則 (時間空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{d}{{dt}}f\left( t \right)} \right] = sF\left( s \right) - f\left( 0 \right)$
	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}f\left( t \right)} \right] = {s^2}F\left( s \right) - sf\left( 0 \right) - f\left( 0 \right)$
	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{{d^n}}}{{d{t^n}}}f\left( t \right)} \right] = {s^n}F\left( s \right) - \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{f^{\left( k \right)}}\left( 0 \right){s^{n - k - 1}}}$
像関数の微分則 (周波数空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {{{\left( { - t} \right)}^n}f\left( t \right)} \right] = \frac{{{d^n}}}{{d{s^n}}}F\left( s \right)$
積分則 (時間空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {\int_0^t {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{s}F\left( s \right)$
	${\mathfrak{L}}\left[ {\int_0^t \cdots \int_0^t {f\left( t \right)d{t^n}} } \right] = \frac{1}{{{s^n}}}F\left( s \right)$
	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{t}f\left( t \right)} \right] = \int_s^\infty {F\left( s \right)ds}$
	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{1}{{{t^n}}}f\left( t \right)} \right] = \int_s^\infty \cdots \int_s^\infty {F\left( s \right){{\left( {ds} \right)}^n}}$
像関数の積分則 (周波数空間)	${\mathfrak{L}}\left[ {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^n}}}} \right] = \int_s^\infty \cdots \int_s^\infty {F\left( s \right){{\left( {ds} \right)}^n}}$

ラプラス変換表

原関数・t領域が分かりやすい関数群です。s領域がわかりやすい表記は逆ラプラス変換表に記載しています。

原関数・t領域 $f\left( t \right)$	像関数・s領域 $F\left( s \right)$	備考	式番号
$\delta (t) = \left\{ \begin{gathered} \infty :t = 0 \\ 0:t \ne 0 \\ \end{gathered} \right.$ , $\int_{ - \infty }^\infty {\delta (t)dt = 1}$	$1$	ディラックのデルタ(δ)関数 (超関数)	1
$u\left( t \right)\left\{ \begin{gathered} 1 & \left[ {t > 0} \right] \\ 1/2 & \left[ {t = 0} \right] \\ 0 & \left[ {t < 0} \right] \\ \end{gathered} \right.$	$\frac{1}{s}$	単位ステップ関数・Heaviside関数	2
$c$	$\frac{c}{s}$	cは定数	3
$t$	$\frac{1}{{{s}^{2}}}$	ランプ関数	4
$c{{t}^{n}}$	$c\frac{n!}{{{s}^{n+1}}}=c\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{{{s}^{n+1}}}$		5
$\sqrt{t}$	$\frac{\pi }{2\sqrt{{{s}^{3}}}}$		6
$\frac{1}{\sqrt{t}}$	$\sqrt{\frac{\pi}{s}}$		7
$c{{e}^{at}}$	$\frac{c}{s-a}$		8
$t{{e}^{at}}$	$\frac{1}{{{\left( s-a \right)}^{2}}}$		9
${{t}^{n}}{{e}^{at}}$	$\frac{\Gamma \left( n+1 \right)}{{{\left( s-a \right)}^{-\left( n+1 \right)}}}=\frac{n!}{{{\left( s-a \right)}^{-\left( n+1 \right)}}}$		10
${{e}^{at}}-1$	$\frac{a}{s\left( s-a \right)}$		11
$\log \left( t \right)$	$\begin{align} & \frac{\Gamma '\left( 1 \right)}{s}-\frac{\log \left( s \right)}{s} =-\frac{1}{s}\left( \log \left( s \right)+\gamma \right) \\ \end{align}$	Euler定数 $\gamma =0.57721\cdots$	12
$\frac{{{e}^{at}}}{\sqrt{t}}$	$\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{s-a}}$		13
$\frac{1}{T}{{e}^{-\frac{t}{T}}}$	$\frac{1}{1+Ts}$		14
$\sin \left( at \right)$	$\frac{a}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}$	正弦関数	15
$\cos \left( at \right)$	$\frac{s}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}$	余弦関数	16
${{\sin }^{2}}\left( at \right)$	$\frac{2{{a}^{2}}}{s\left( {{s}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)}$		17
${{\cos }^{2}}\left( at \right)$	$\frac{{{s}^{2}}+2{{a}^{2}}}{s\left( {{s}^{2}}+4{{a}^{2}} \right)}$		18
$\sin \left( at+\theta \right)$	$\frac{s\sin \left( \theta \right)+a\cos \left( \theta \right)}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}$		19
$\cos \left( at+\theta \right)$	$\frac{s\cos \left( \theta \right)-a\sin \left( \theta \right)}{{{s}^{2}}+{{a}^{2}}}$		20
$t\sin \left( at \right)$	$\frac{2as}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}$		21
$t\cos \left( at \right)$	$\frac{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}$		22
${{t}^{2}}\sin \left( at \right)$	$\frac{2a\left( 3{{s}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}$		23
${{t}^{2}}\cos \left( at \right)$	$\frac{2s\left( {{s}^{2}}-3{{a}^{2}} \right)}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{3}}}$		24
${{e}^{bt}}\sin \left( at \right)$	$\frac{a}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		25
${{e}^{bt}}\cos \left( at \right)$	$\frac{s-b}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		26
${{e}^{bt}}\sin \left( at+\theta \right)$	$\frac{\left( s-b \right)\sin \left( \theta \right)+a\cos \left( \theta \right)}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		27
${{e}^{bt}}\cos \left( at+\theta \right)$	$\frac{\left( s-b \right)\cos \left( \theta \right)-a\sin \left( \theta \right)}{{{\left( s-b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		28
$\frac{1}{t}\sin \left( at \right)$	${{\tan }^{-1}}\left( \frac{a}{s} \right)$		29
$\frac{1-\cos \left( at \right)}{t}$	$\frac{1}{2}\log \left( 1+\frac{{{a}^{2}}}{{{s}^{2}}} \right)$		30
$\sinh \left( at \right)$	$\frac{a}{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}$	双曲線正弦関数 (ハイパボリックサイン)	31
$\cosh \left( at \right)$	$\frac{s}{{{s}^{2}}-{{a}^{2}}}$	双曲線余弦関数 (ハイパボリックコサイン)	32
${{\sinh }^{2}}\left( at \right)$	$\frac{2{{a}^{2}}}{\left( {{s}^{3}}-4{{a}^{2}}s \right)}$		33
${{\cosh }^{2}}\left( at \right)$	$\frac{{{s}^{2}}-2{{a}^{2}}}{{{s}^{3}}-4{{a}^{2}}s}$		34
${{e}^{bt}}\sinh \left( at \right)$	$\frac{a}{{{\left( s-b \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}$		35
${{e}^{bt}}\cosh \left( at \right)$	$\frac{s-b}{{{\left( s-b \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}$		36
$\frac{1}{\pi t}\sin \left( 2a\sqrt{t} \right)$	$\text{erf}\left( \frac{a}{\sqrt{s}} \right)$		37
$\text{erfc}\left( \frac{a}{2\sqrt{t}} \right)$	$\frac{1}{s}{{e}^{-a\sqrt{s}}}$	誤差関数	38

逆ラプラス変換表

ラプラス変換表以外で、像関数・s領域が分かりやすい関数群

原関数・t領域 $f\left( t \right)$	像関数・s領域 $F\left( s \right)$	備考	式番号
$\frac{{{t}^{n-1}}}{\left( n-1 \right)!}$	$\frac{1}{{{s}^{n}}}$		39
$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$	$\frac{1}{\sqrt{s}}$		40
$2\sqrt{\frac{t}{\pi }}$	$\frac{1}{s\sqrt{s}}$		41
$-\frac{1}{2{{t}^{3/2}}\sqrt{\pi }}$	$\sqrt{s}$		42
$\frac{3}{4{{t}^{5/2}}\sqrt{\pi }}$	$s\sqrt{s}$		43
$\frac{1-{{e}^{-t}}}{t}$	$\log \left( 1+\frac{1}{s} \right)$		44
$\frac{{{e}^{-at}}-{{e}^{-bt}}}{t}$	$\log \left( \frac{s+b}{s+a} \right)$		45
$\frac{a}{2t\sqrt{\pi t}}{{e}^{\frac{-{{a}^{2}}}{4t}}}$	$\frac{1}{s}{{e}^{-a\sqrt{s}}}$		46
$\frac{{{e}^{at}}-{{e}^{bt}}}{a-b}$	$\frac{1}{\left( s-b \right)\left( s-a \right)}$	$b\ne a$	47
$\frac{1}{2{{a}^{3}}}\sin \left( at \right)-\frac{1}{2a}t\cos \left( at \right)$	$\frac{1}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}$		48
$\frac{t}{{2a}}\sin \left( {at} \right)$	$\frac{s}{{{{\left( {{s^2} + {a^2}} \right)}^2}}}$		49
$\frac{1}{2a}\sin \left( at \right)+\frac{t}{2}\cos \left( at \right)$	$\frac{{{s}^{2}}}{{{\left( {{s}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}^{2}}}$		50
$\frac{1}{a}{{e}^{-bt}}\sin \left( at \right)$	$\frac{1}{{{\left( s+b \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$		51

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math/laplacetransformstable.txt · 最終更新: 2012/03/21 19:13 by cega

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